线性函数(红色)会作用估算函数
(蓝色)。
梯形公式是数学中数值积分的基础公式之一:
公式由来[编辑]
由积分中值定理可得
,
但由于ξ其值一般难于确定,故难以准确算出
的值。
如果用两端点
与
的算术平均值估算
,有
,
这就是梯形公式。
类似地,如果用区间中点
其高度
取代
,从而有中矩形公式
。
复合求积公式[编辑]
每一区间相同[编辑]
梯形公式的示意图(长度相同的区间)。
为了计算出更加准确的定积分,可以把积分的区间
分成
份,当中
趋向无限,分割出的每一个区间长度必定要是一样的,然后就可以应用梯形公式:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b41bcb81b7c32debfceee32576be9b2de8e098)
亦可以写成:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2N}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8c9470069bd9163d532f6ac4a620cfde3604db)
当中
![{\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{N}},{\text{ for }}k=0,1,\dots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c80e8183471d695448c5ff7dfe4317e035a167a)
其余项为
当区间的长度并不相同时,这一条公式便不能使用。
每一区间并不相同[编辑]
梯形公式的示意图(长度不相同的区间)
给予
以及
,定积分就可以估算成
,
当中
.
误差分析[编辑]
应用梯形公式的误差值是真值数字与运用梯形公式结果的差异:
![{\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac04c64166cbfd24aac10c03c629641a2d7c13d4)
如果
中存在一个实数
,那么
![{\displaystyle {\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d9220288a6dfdbf52aed00dd8f081413fd9b09)
对于中矩形公式,其误差类似的有:
如果被积函数是一个凸函数(亦即有一个正值二阶导数),那么误差会是一个负数,也代表梯形公式的估算值高估了真实数字。这可以利用一个几何图形代去表达:梯形不但覆盖曲线下的面积更超越其范围。同样地,如果被积函数是一个凹函数,梯形公式就会低估其真实数字因为曲线下部分面积没有被计算在内。如果被积函数中有拐点。它的错误是比较难去估计。
一般而言有数种方法可以去分析误差,例如是:傅里叶级数。
在
的情况下,趋向性的估计误差是:
![{\displaystyle {\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8c3e11b2ab8dfeff4a79a5bea6db9f35a8e2a5)
参考文献[编辑]
- 《数值分析》,清华大学出版社,李庆扬等编,书号ISBN 978-7-302-18565-9